Sixpack liga

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From zero to infinity: Mathematical Association of America. From Prehistory to the Invention of the Computer , Wiley. A Natural History of Zero , Oxford: Elements of the History of Mathematics.

Berlin, Heidelberg, and New York: Article "Nothing Counts" in Asimov on Numbers. This article is based on material taken from the Free On-line Dictionary of Computing prior to 1 November and incorporated under the "relicensing" terms of the GFDL , version 1.

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When working with numerical quantities it is easy to determine when an illegal attempt to divide by zero is being made. For example, consider the following computation.

The fallacy here is the assumption that dividing by 0 is a legitimate operation with the same properties as dividing by any other number.

A formal calculation is one carried out using rules of arithmetic, without consideration of whether the result of the calculation is well-defined.

This infinity can be either positive, negative, or unsigned, depending on context. As with any formal calculation, invalid results may be obtained.

A logically rigorous as opposed to formal computation would assert only that. Since the one-sided limits are different, the two-sided limit does not exist in the standard framework of the real numbers.

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However, the resulting algebraic structure is not a field , and should not be expected to behave like one. This set is analogous to the projectively extended real line, except that it is based on the field of complex numbers.

While this makes division defined in more cases than usual, subtraction is instead left undefined in many cases, because there are no negative numbers.

Although division by zero cannot be sensibly defined with real numbers and integers, it is possible to consistently define it, or similar operations, in other mathematical structures.

In the hyperreal numbers and the surreal numbers , division by zero is still impossible, but division by non-zero infinitesimals is possible.

Any number system that forms a commutative ring —for instance, the integers, the real numbers, and the complex numbers—can be extended to a wheel in which division by zero is always possible; however, in such a case, "division" has a slightly different meaning.

The concepts applied to standard arithmetic are similar to those in more general algebraic structures, such as rings and fields.

In a field, every nonzero element is invertible under multiplication; as above, division poses problems only when attempting to divide by zero.

This is likewise true in a skew field which for this reason is called a division ring. However, in other rings, division by nonzero elements may also pose problems.

Since the field axioms only guarantee the existence of such inverses for nonzero elements, this expression has no meaning when b is zero.

In the zero ring, division by zero is possible, which shows that the other field axioms are not sufficient to exclude division by zero in a field.

The IEEE floating-point standard , supported by almost all modern floating-point units , specifies that every floating point arithmetic operation, including division by zero, has a well-defined result.

The standard supports signed zero , as well as infinity and NaN not a number. There are two zeroes: The justification for this definition is to preserve the sign of the result in case of arithmetic underflow.

Integer division by zero is usually handled differently from floating point since there is no integer representation for the result.

Some processors generate an exception when an attempt is made to divide an integer by zero, although others will simply continue and generate an incorrect result for the division.

Because of the improper algebraic results of assigning any value to division by zero, many computer programming languages including those used by calculators explicitly forbid the execution of the operation and may prematurely halt a program that attempts it, sometimes reporting a "Divide by zero" error.

In these cases, if some special behavior is desired for division by zero, the condition must be explicitly tested for example, using an if statement.

Some programs especially those that use fixed-point arithmetic where no dedicated floating-point hardware is available will use behavior similar to the IEEE standard, using large positive and negative numbers to approximate infinities.

In some programming languages, an attempt to divide by zero results in undefined behavior. The graphical programming language Scratch 2 used in many schools returns Infinity or -Infinity depending on the sign of the dividend.

This article is about the concept in mathematics and exception in computing. For other uses, see Division by zero disambiguation.

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